UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB 

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET 

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 

POLIANA FERREIRA DO PRADO 

 

 

 

 

 

 

 

Integrais de Linha 

-Matemática Aplicada- 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VITÓRIA DA CONQUISTA - BAHIA 

SETEMBRO DE 2013 


POLIANA FERREIRA DO PRADO 

 

 

 

 

 

Integrais de Linha 

-Matemática Aplicada- 

 

 

Monografia apresentada ao curso de Matemática da 
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – 
UESB como requisito para obtenção do grau de 
Licenciando em Matemática. 

 

 

Orientador: Antônio Augusto Oliveira Lima 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vitória da Conquista 

2013 

 


POLIANA FERREIRA DO PRADO 

 

 

Integrais de Linha 

-Matemática Aplicada- 

 

 

Monografia apresentada ao curso de Matemática da 
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – 
UESB como requisito para obtenção do grau de 
Licenciando em Matemática. 

 

 

 

BANCA EXAMINADORA 

 

 

________________________________________ 

Antônio Augusto Oliveira Lima 

 

 

________________________________________ 

Clênia de Andrade Oliveira de Melo 

 

 

________________________________________ 

Wallace Juan Teixeira Cunha 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

À Deus: 

“Em seu poder estamos nós, as nossas palavras, a 
nossa inteligência e as nossas habilidades.” 

Sabedoria 7, 16 

 

 


AGRADECIMENTOS 

 

Meu grandessíssimo agradecimento a Deus que assume todo senhorio em minha vida. 
Eternamente minha gratidão por sempre estar ao meu lado, com cuidado, carinho e amor a 
todo instante. 

A minha família, em especial minha mãe, quem se orgulha de mim, quem me ensinou 
os preciosos valores da vida. Ao meu cunhado e minha irmã, pela compreensão e 
companheirismo. As minhas queridíssimas amigas, por fazerem parte da minha vida. (um 
beijo no coração de cada um!). 

Aos Mestres, aqueles os quais os tenho como referencial, de professor, de educador, 
podendo aqui com muito aprazimento lembrar-me de Augusto por tal exemplo e muito mais, 
foi muito honroso pra mim, tê-lo como orientador deste trabalho. Meu muito obrigada! 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


RESUMO 

 

 

 

Apresentar brevemente fatos de importantes personagens que permeiam acontecimentos 
históricos relacionados à construção do Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral fazendo 
embasamento para o estudo do cálculo da Integral de Linha e algumas aplicações. 

Palavras chaves: Campo Vetorial, Cálculo Integral e Integral de Linha. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ABSTRACT 

 

 

 

Briefly presentfactsof importantcharactersthat permeatehistorical events relatedto the 
construction ofDifferential CalculusandIntegral Calculusmakingfoundationfor the studyof 
calculating theIntegralLine. 

Keywords: VectorField, Integral CalculusandIntegralLine. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E se é a inteligência quem opera, quem mais do que 
ela é artífice do que existe? 

Sabedoria 8, 7 

 


SUMÁRIO 

 

 

 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 9 

1 ASPECTOS HISTÓRICOS .................................................................................................... 11 

2 CÁLCULO VETORIAL ......................................................................................................... 16 

2.1 CAMPOS VETORIAIS ............................................................................................. 16 

3 CAMPOS GRADIENTES ...................................................................................................... 18 

4 ROTACIONAL DE UM CAMPO DE VETORES ............................................................... 18 

5 DIVERGÊNCIA DE UM CAMPO DE VETORES ............................................................. 19 

6 INTEGRAIS DE LINHA ........................................................................................................ 21 

6.1 INTEGRAIS DE LINHAS DE CAMPOS VETORIAIS ........................................... 2 

6.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHAS .......................... 25 

6.3 INDEPENDÊNCIA DO CAMINHO ........................................................................ 26 

6.4 TEOREMA DE GREEN ............................................................................................ 28 

6.5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL ...... 31 

6.5.1 CÁLCULO DO TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA .......... 31 

6.6.2 CÁLCULO DE ÁREA UTILIZANDO O TEOREMA DE GREEN ........ 32 

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................. 33 

 REFERÊNCIAS ...................................................................................................................... 34 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Introdução 

 

A elaboração deste trabalho é baseada numa pesquisa não tanto extensa, mas o 
essencial para escrita do mesmo. Esse texto tem como intuito fazer uma breve apresentação 
dos precursores relacionados ao surgimento do Cálculo, este que segue como tema geral, o 
qual abordaremos por seguinte. 

O Cálculo diferencial e Integral se desenvolveu com os estudos de Isaac Newton 
(1643- 1727) e Gottfried Leibniz (1646- 1716) que deram origem aos fundamentos mais 
importantes do Cálculo: as derivadas e as integrais. 

Seguindo a linha do trabalho, será feita a abordagem das Integrais – Integral de Linha. 

As integrais de Linha são de uma importância fundamental em enumeras aplicações, 
tais como, ligação com energia potencial, fluxo de calor, circulação de fluídos, utiliza-se para 
calcular área de superfície, comprimento de curvas e etc. 

Com estas ideias finalizaremos o trabalho mostrando algumas aplicações das Integrais 
de Linha. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Capítulo 1 

Aspectos Históricos 

 

 Neste capitulo faremos brevemente um estudo do surgimento do Cálculo, 
perpetraremos uma apresentação geral de alguns acontecimentos históricos, não deixando 
despercebidos os fatos importantes que estão relacionados à construção deste instrumento 
cabendo nesse texto fazer referências aos colaboradores para tal surgimento. Sendo assim 
veremos a participação de Bonaventura Cavalieri (1598--1647), Pierre Fermat (1601--1665), 
Isaac Barrow (1630--1677), Georg Riemann (1826 - 1866) e Johannes Kepler (1571 – 1630) 
que foram cruciais nesse desenvolvimento. E só então veremos que próximo ao final do 
século XVII por Isaac Newton (1601--1665) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) que 
se deu o aperfeiçoamento do que já se conhecia, dando-se a origem ao Cálculo Diferencial e 
Cálculo Integral. 

O Cálculo Diferencial e Cálculo Integral, podendo também ser chamado de Cálculo 
Infinitesimal ou apenas Cálculo, é uma importante ferramenta para a Matemática, 
desenvolvida por personagens importantes a partir da Álgebra e da Geometria. 

Neste sentido podemos fazer citação do alemão Johannes Kepler sendo este, astrônomo, 
matemático e físico. Seus trabalhos publicados mostram a semelhança com o que ainda 
poderia ser visto e utilizado no cálculo integral, assim, fez em pouco mais de duas décadas um 
trabalho árduo e com várias tentativas frustradas sobre a astronomia, então depois de muita 
paciência criou-se suas duas primeiras leis sobre o movimento planetário. E dez anos 
seguintes criou sua terceira lei. Estas leis mudaram a astronomia e tiveram papeis 
fundamentais no desenvolvimento da matemática. 

Kepler, com sua segunda lei, o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais 
em intervalos de tempo iguais, foi percussor do cálculo, pois, foi necessário em seus trabalhos 
recorrer ao cálculo integral. No início do século XVII estando em Linz na Áustria envolveu 
em seus trabalhos ao calcular os volumes dos tonéis de vinho, ideia propícia pela época, nesse 
trabalho aplicou também processos de integração para achar volumes de sólidos obtidos pela 
rotação de segmentos de secções cônicas em torno de um eixo de seu plano. Este estudioso, 
apesar de uma vida turbulenta, juntou sua imaginação às verdades científicas e conquistou um 
ótimo trabalho. 


Por sua vez, Bonaventura Cavalieri, nascido em Milão na Itália. Ainda muito jovem se 
dedicou à geometria e em pouco tempo já havia absorvido as obras de Euclides, Arquimedes, 
Apolônio e Pappus. Teve também como interesse de estudos outras áreas, tais como: As 
seções cônicas, a trigonometria, astronomia e a óptica. 

Más é possível que o trabalho já citado de kepler possa ter influenciado Cavalieri 
quando desenvolveu uma teoria de indivisíveis. 

Para uma região bidimensional. Considerou a coleção de "todas as retas" como sendo 
um único número, a área da região. Foi um estudante de Galileu, juntos estudaram o cálculo, 
com isso aprendeu os fundamentos e desenvolveu o seu método dos indivisíveis. 

Pierre Fermat nasceu em berço francês, estudou os clássicos e pode aprender latim, 
grego, italiano e espanhol. Mesmo hesitando publicar as suas obras, foi considerado um dos 
maiores matemáticos do século XVII. Escreveu vários artigos e notas sobre matemática, mas 
publicou apenas uma obra. Raramente fez descrições completas. 

Além de poder ser reconhecido como um dos maiores matemáticos atuou no campo da 
física e da teoria dos números. Fermat pode figurar o conceito de que a área sob uma curva 
poderia ser vista como o limite das somas das áreas do retângulo e também desenvolveu um 
método para encontrar os centros das formas demarcadas por curvas no plano. A fórmula 
padrão para calcular o comprimento do arco e encontrar a área de uma superfície de revolução 
e o teste da derivada para valores extremos das funções também foram concebidas por ele. 
Estudou valores mínimos e máximos das funções, antecipando o cálculo diferencial, e 
escreveu um relato não publicado sobre seções cônicas. 

Isaac Barrow inglês nascido em Londres, foi uma irrequieta criança tão como nos seus 
primeiros tempos de escola, na sua época foi um dos melhores especialistas em grego e em 
tempo acadêmico projetou-se em matemática, física, astronomia e teologia. 

Barrow publicou uma regra de tangentes parecida com o método de máximos e mínimos 
de Fermat. Em uma obra publicada, teve gratidão à ajuda de Newton, que por sua vez foi seu 
aluno, quando as seus trabalhos de geometria e cálculo que o mesmo aplicou à óptica. Nesta 
publicação há uma abordagem muito próxima do processo que hoje conhecemos de 
diferenciação, mediante o uso do chamado triangulo diferencial. 

Embora, Barrow ter sido um geómetra muito talentoso, pode-se considerar que ele foi o 
primeiro a perceber, que a diferenciação e a integração são operações inversas. Assim, 
tornando – uma entidade intelectual única, pois a percepção citada anteriormente fica-se 
conhecida como teorema fundamental do cálculo. 


Sem deixar de falar a cerca de Riemann, um estudioso, de maneiras tímidas e saúde 
fragilizada, nascido em Hanover na Alemanha, estudou na Universidade de Berlim e de 
Gottingen onde obteve seu doutorado com uma brilhante tese sobre a teoria das funções 
complexas as chamadas equações diferenciais de Cauchy- Riemann. Teve sua influência na 
física, mas brilhantemente, esse matemático influenciou a geometria e a análise. 

E dos muitos teoremas conseguidos por Riemann em Teoria dos Números e 
relacionando-os com a análise é que encontramos as chamadas equações de Cauchy – 
Rieman. Um de seus brilhantes resultados foi perceber que a integral exigia uma definição 
mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos geométricos, concluiu que 
as funções limitadas são sempre integráveis. 

Em 1859, como professor, Riemann sucedeu a Dirichlet na cadeira de Gottingen já 
ocupada por Gauss. Com apenas quarenta anos de idade e com obras qualificadas, mas com 
seu estado de saúde muito precário, acometido de tuberculose, Riemann morreu em Selasca 
na Itália, em 20 de julho de 1866. 

Agora, mesmo com tais precursores para o surgimento do cálculo, veremos que em 
geral esse aparecimento é atribuído a Newton e Leibniz que trabalhando independentemente 
contribuíram para isso. 

Então, no ano de 1642, no dia de natal, nasce Isaac Newton, na cidade de Woolsthorpe. 
Este há de ser admirável pelo seu poder de raciocínio e seria muito considerado, tanto quanto 
por cientistas, Newton, que viveu oitenta e quatro anos de idade, na matemática não foi 
diferente, tinha um vasto e impressionante conhecimento e um grande intelecto. Seu talento 
sendo percebido desde cedo, e ao ingressar no Trinity College foi possível que se interessasse 
por matemática, isso o levou a estudar um exemplar de Euclides, leu a Calvis de Oughtred, a 
Geometria a Renato Des Cartes de Scooten, trabalhos de Kepler e Vièt e a 
Aritmeticainfinitorum de wallis. Parecendo está apto a fazer suas contribuições à matemática, 
Newton faz descobertas de o teorema do binômio e o cálculo diferencial que por ele foi 
inventado como o método dos fluxos. 

Durante um período de vivencia e pensamentos em sua casa, na cidade de Woolsthorpe 
onde nascera, durante dois anos (1665-1667) após as portas da Universidade de Cambridge 
terem sido fechadas por causa da peste bubônica, estas descobertas foram acontecidas. Mas 
foi em 1665 que Newton começou a desenvolver o cálculo, neste tempo já era possível 
encontrar a tangente a uma curva num de seus pontos e o raio de curvatura respectivo. Mas a 
conclusão se deu em meados de 1669, escrito em 1671 e alcançando publicação em 1736. 


 

Para Newton, nesse trabalho, uma curva era gerada pelo movimento 
contínuo de um ponto. Feito essa suposição, a abscissa e a ordenada de um 
ponto gerador passas a ser, em geral, quantidades variáveis. A uma 
quantidade de variável ele dava o nome de fluente e à sua taxa de variação 
dava o nome de fluxo do fluente. (EVES2004, p.439). 

 

A taxa de geração era designada por uma letra e um ponto sobre ela como em 𝑥̇ e 
𝑦 ̇chamadas de “fluxos”. As quantidades 𝑥 ̇e 𝑦 ̇eram fluentes com fluxos 𝑥̈ e 𝑦̈, e assim por 
diante. As quantidades x e y eram fluxos dos fluentes x e y dentro de um quadrado, que por 
sua vez eram fluxos dos fluentes x e y, e assim por diante. Assim sendo, dadas as relações 
entre quantidades, encontrar as relações entre os fluxos delas; e vice versa é que se baseava 
então o problema fundamental do cálculo, dito por Newton. 

 

Este fez numerosas e notáveis aplicações de seu método dos fluxos. 
Determinou máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvaturas de curvas, 
pontos de inflexão e convexidade e concavidade de curvas; aplicou-o 
também a muitas quadraturas e retificações de curvas. Demonstrou 
habilidade extraordinária na integração de algumas equações diferencias. 

(EVES2004, p.439 - 440). 

 

Assim Newton foi não menos que uma figura grandiosa conhecida em todos os 
tempos, com influência altíssima e belíssima para a matemática. 

Veremos a seguir, que Newton, inventor do cálculo, não pode deixar de dividir com 
Gottfried Wilhelm Leibniz o título de inventor dessa criação. 

Sendo assim, Leibniz, nasceu em Leipzing na Alemanha, podendo ser considerado um 
gênio universal do século XVII, ainda muito jovem alcançou altos níveis de conhecimento nas 
áreas da teologia, filosofia e matemática. Aos seus dezoito anos já havia obtido o grau de 
bacharelado. Dois anos se acrescia em sua idade e Leibniz já estava apto ao grau de doutor, 
porém a sua pouca idade não o permitiu, obteve seu doutorado na universidade em 
Nuremberg ao se mudar para Altdorf. Nos anos de 1673 e 1676, foram anos que Leibniz 
esteve em visita à Londres. Na primeira de suas visitas, foi enviado em missão política, na 
segunda fez exibição de uma máquina de calcular, obra de sua inteligência. Entre os anos de 
suas visitas a Londres, o cálculo de Leibniz havia tomado forma e com a importância que se 
dava às notações não fez diferente no cálculo, e foi em 29 de outubro de 1675 que ele utilizou 
o símbolo de integral, um S alongado. Pouco tempo depois usava 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 para as diferenciais 


em x e y e para as somas das ordenada sob uma curva, utilizava o símbolo ∫𝑦 e um pouco 
mais tarde o sinal ∫𝑦𝑑𝑥. Esta simbologia permanece até hoje em nossas notações de cálculo. 

Em 1684 Leibniz publicou sua primeira exposição do cálculo diferencial um novo 
método para máximos e mínimos, e também para tangentes, que não é obstruído por 
quantidades irracionais. Uma explicação do cálculo integral, Leibniz publicou em 1686, nesse 
trabalho, ele apresenta o problema da quadratura como um caso especial do método do 
inverso das tangentes. 

As contribuições de Leibniz à matemática foi expressiva, fez generalização do teorema 
do binômio em teorema multinominal, a criação dos determinantes no estudo de equações 
lineares e reelaborou e desenvolveu um conceito de uma lógica simbólica formal. Leibniz foi 
tanto filósofo como matemático, e suas descobertas para a matemática foi um tanto grandiosa. 
Foi além de filosofo cientista, mesmo que seus trabalhos na ciência foram ofuscados pelos de 
Newton, no entanto nos faz perceber que não o tornou menos importante que Newton na 
descoberta do cálculo os tornando os maiores protagonistas desta criação. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Capítulo 2 

Cálculo Vetorial 

Campos Vetoriais 

 

Nesta seção estudaremos o cálculo de campos vetoriais, que são funções, cujo domínio 
é um conjunto de pontos no ℝ2 ou ℝ3, cuja imagem de vetores em ℝ2 ou ℝ3. 

 

Definição Consideremos D um conjunto em ℝ2. Vamos interpretar F é uma função que 
associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional indicado por F (x, y). O conjunto dos 
vetores F (x, y) em D é chamado de um campo vetorial. 

 Como F (x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas 
funções componentes P e Q, da seguinte forma: 

F (x, y) = P(x, y)I + Q(x, y)j = ⟨𝑃(𝑥,𝑦),𝑄(𝑥,𝑦)⟩ 

ou ainda podemos escrever assim: F = Pi + Qj 

 Podemos conhecer um campo vetorial ao tentarmos representar os vetores F (x, y), 
iniciando por (x, y). Obviamente que não podemos representar todos os pontos (x, y). 
Podemos verificar na Figura 2.1. 

 

 

 y F(x, y) 

 (x, y) 

 

 0 x 

 

 

 

Figura 2.1 

Definição Consideremos E um subconjunto do ℝ3. Vamos interpretar F é uma função que 
associa a cada ponto (x, y, z) em E um vetor tridimensional por F (x, y, z). O conjunto dos 
vetores F (x, y, z) em E é chamado de um campo vetorial. 


 De mesma forma podemos escrevê-lo em termos de suas funções compostas P, Q, R 
como 

F (x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k 

 

Vejamos ilustração na Figura 2.2. 

 

 

 

 z F(x, y, z) 

 

 (x, y, z) 

 

 y 

 

 x 

 

Figura 2.2 

Exemplo I Um campo vetorial em ℝ2 é definido por F (x, y) = -yi + xj. Descreva F 
desenhando alguns de seus vetores F (x, y), como na Figura 3.3. 

Solução Como F (1, 0) = j, desenhamos o vetor j = ⟨0, 1⟩ começando no ponto (1, 0) na Figura 
2.3. Como F (1, 0) = -i, desenhamos o vetor ⟨-1, 0⟩ iniciando no ponto (0,1). Continuamos 
desse modo desenhando um número significativo de vetores para representar o campo vetorial 
na Figura 2.3. 

 

 

(x, y) 

F (x, y) 

(x, y) 

F (x, y) 

(1, 0) 

⟨0, 1⟩ 

(-1, 0) 

⟨0, -1⟩ 

(2, 2) 

⟨-2, 2⟩ 

(-2, -2) 

⟨2, -2⟩ 

(3, 0) 

⟨0, 3⟩ 

(-3, 0) 

⟨0, -3⟩ 

(0, 1) 

⟨-1, 0⟩ 

(0, -1) 

⟨1, 0⟩ 

(-2, 2) 

⟨-2, -2⟩ 

(2, -2) 

⟨2, 2⟩ 

(0, 3) 

⟨-3, 0⟩ 

(0, -3) 

⟨3, 0⟩ 



 

 


 y 

 F(2, 2) 

 F(0, 3) 

 F(1, 0) 

 

 x 

 

 

 

Figura 2.3 
∎ 

 

Campos Gradientes 

 

Se f é uma função escalar no ℝ2 podemos dizer que seu gradiente ∇f (ou gradf ) é 
definido por 

∇f (x, y) = fx(x, y)i + fy (x, y)j 

 Sendo ∇f um campo vetorial em ℝ2, logo, é denominado campo vetorial gradiente. 
De mesma maneira, se f for uma função escalar no ℝ3, seu gradiente é uma campo vetorial em 
ℝ3 dado por 

∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k 

Exemplo II Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2y – y3. 

Solução O campo vetorial gradiente é dado por 

∇f (x, y) = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
i + 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
j = 2xy i + (x2 – 3y2)j 

 Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se ele for gradiente de 
alguma função escalar, ou seja, se existir uma função f tal que F = ∇f. Nessa situação, f é 
denominada função potencial de F. 

 

Rotacional de um Campo de vetores 

 

 Consideremos o campo vetorial F = Pi + Qj + Rk definido em ℝ3 suponhamos que as 
derivadas parciais de P, Q e R são admitidas, o rotacional de F que é indicado por rotF, é o 
campo vetorial definido em ℝ3 e dado por 


1 rotF = (
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
)i + (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
)j + (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)k 

Podemos reescrever a Equação 1 utilizando a notação de operadores, sendo assim 
usaremos o operador diferencial vetorial ∇(“del”) como 

∇ = i 
𝜕
𝜕𝑥 
+ j 
𝜕
𝜕𝑦 
+ k 
𝜕 
𝜕𝑧 


Podemos expressar rotF como um produto vetorial de ∇ pelo campo vetorial F, como 
segue: 

∇× F = |
𝐢𝐣𝐤
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑃𝑄𝑅
| 

= (
𝜕𝑅
𝜕𝑦 
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
)i + (
𝜕𝑃
𝜕𝑧 
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
)j + (
𝜕𝑄
𝜕𝑥 
− 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)k 

= rot F 

Logo, 

2 rotF = 𝛁 × F 

Exemplo I Se F(x, y, z) = xzi + xyzj – y2k, determine o rotacional de F. 

Solução Podemos fazer da seguinte forma, utilizaremos a Equação 2 

rotF = ∇×F = |
𝐢𝐣𝐤
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑃𝑄𝑅
| 

= [
𝜕
𝜕𝑦
(−𝑦2)− 
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑦𝑧)]i - [
𝜕
𝜕𝑦
(−𝑦2)− 
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑧)]j + [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑦𝑧)− 
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑧)]k 

= (− 2𝑦−𝑥𝑦)𝐢−(0−𝑥)𝐣+ (yz - 0)k 

= -y(2 + x)i + xj + yzk 
∎ 

 

Divergência de um Campo de Vetores 

 

 Seja F = Pi + Qj + Rk um campo vetorial definido em ℝ3 e suponhamos que existam 
𝜕𝑃𝜕𝑥⁄, 𝜕𝑄𝜕𝑦⁄ e 𝜕𝑅𝜕𝑧⁄, então o divergente de F é a função de três variáveis definida por 

3 divF = 
𝜕𝑃
𝜕𝑥 
+ 
𝜕𝑄
𝜕𝑦 
+ 
𝜕𝑅
𝜕𝑧 


Podemos observar que rotF é um campo vetorial, mas divF é um campo escalar. Na 
notação de operador gradiente∇ = (𝜕𝑃𝜕𝑥)𝐢⁄+(𝜕𝑄𝜕𝑦)𝐣+⁄(𝜕𝑅𝜕𝑧⁄)𝐤, o divergente de F 
pode ser escrito como produto escalar de ∇ e F: 


4 divF = 𝛁 . F 

Exemplo II Se F(x, y, z) = xzi + xyzj – y2k, encontre divF. 

Solução: Utilizando as Equações 3 ou 4, temos 

divF = 𝛁 . F = 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑦) + 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑦𝑧) + 
𝜕
𝜕𝑧
(−𝑦2) = z + xz 
∎ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Capítulo 3 

Integrais de Linha 

 

As integrais de linha são de uma importância fundamental em enumeras aplicações, 
nomeadamente em ligações com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluídos, etc. 

Nesta seção, definiremos uma integral que é semelhante à integral unidimensional, 
exceto que, em vez de integrarmos sobre um intervalo [a, b], integraremos sobre uma curva C. 
Apresentaremos conceitos e daremos definições à cerca da integral de linha. Veremos suas 
aplicações ao anunciarmos suas propriedades fundamentais. 

Seja C uma curva unindo dois pontos A e B, definida parametricamente por, 

1 x = x(t) y = (t) a ≤ t ≤ b 

consideremos em C os pontos A = P0,P1, ... , Pi-1, Pi, ... ,Pn = B, correspondentes a uma 
partição do intervalo [a, b], seja ainda f (x, y, z) um campo escalar continuo definido num 
domínio D ⊂ℝ3 contendo a curva C e suponhamos ainda que a função f (x, y, z) é positiva em 
D, ou seja, f (x, y, z) ≥ 0, ∀ (x, y, z) ∈ D. 

 Seja Qi um ponto arbitrário escolhido no arco𝑃𝑖−1𝑃𝑖em que o comprimento deste arco 
é dado por Δsi. Ao calcularmos o valor de f (Qi) e multiplicando por Δsi, temos então, 

Σ 𝑓 (Qi)𝑛𝑖
=1Δsi 

Definição A integral de linha de f (x, y, z) ds ao longo da curva C é o limite dessa soma 
quando o número de subdivisões n se aproxima do infinito fazendo o comprimento de cada 
arco se aproximar a zero: 

2∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶
= lim
𝑛 → ∞
Σ𝑓 (𝑥,𝑦,𝑧)𝑛𝑖
=1Δsi 

Sabendo que o comprimento da curva C é dado por: 

3 L=∫√(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2+ (
𝑑𝑧
𝑑𝑡
)
2𝑏
𝑎
dt 

Se f é uma função continua então o limite de ∫𝑓 (𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶 
sempre existe e a 
formula seguinte pode ser usada para calcular a integral de linha: 

4∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶
= ∫𝑓
𝑏
𝑎
(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡))√(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2+ (
𝑑𝑧
𝑑𝑡
)
2
𝑑𝑡 


Exemplo I Calcule ∫(2+𝑥2𝑦) 𝑑𝑠
𝐶
, onde C é a metade superior do círculo unitário 𝑥2+ 
𝑦2=1. 

Solução Para utilizarmos a equação 4 dada anteriormente, precisamos de equações 
paramétricas que representam a curva C, assim: 

x = cos t y = sen t 

e a metade superior do círculo (Figura 3.2) é descrita pelo parâmetro 0 ≤ t ≤ 𝜋, logo temos: 

∫(2+𝑥2𝑦) 𝑑𝑠 
𝐶
= ∫(2+𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝜋
0√(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
𝑑𝑡 

= ∫(2+𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝜋
0√𝑠𝑒𝑛2𝑡+ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑑𝑡 

= ∫(2+𝑐𝑜𝑠 2𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝜋
0
𝑑𝑡[ 2𝑡− 
𝑐𝑜𝑠3𝑡
3]0
𝜋 = 2 𝜋 + 
23 
∎ 

 

 

 y 

 𝑥2+ 𝑦2=1 

 (y ≥ 0) 

 

 - 1 0 1 x 

Figura 3.1 

Obs. Caso C seja uma curva lisa por partes; ou seja, C é a união de um número finito de 
curvas lisas C1, C2, ... Cn. Neste caso, definimos a integral de f ao longo de C como a soma 
das integrais de f ao longo de cada trecho liso de C. 

∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶 
= ∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶1 
+ ∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶2 
+ ... + ∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶𝑛 


Podemos definir três outras integrais, elas são chamadas integrais de linha de f ao 
longo de C com relação a x, y e z, para isso basta que trocarmos Δsi por Δsx, Δsy ou Δsz, 
veremos: 

5∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑥
𝐶
= lim
𝑛 → ∞
Σ𝑓 (𝑥,𝑦,𝑧)𝑛𝑖
=1Δsx 

6∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦
𝐶
= lim
𝑛 → ∞
Σ𝑓 (𝑥,𝑦,𝑧)𝑛𝑖
=1Δsy 

7∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑧
𝐶
= lim
𝑛 → ∞
Σ𝑓 (𝑥,𝑦,𝑧)𝑛𝑖
=1Δsz 

 Ao fazermos t: x = x(t), y = y(t), dx = 𝑥,(t) dt, dy = 𝑦′dt, z = z(t), dz = 𝑧,(t) podemos 
escrever as seguintes fórmulas em relação a x, y e z. 


8∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶 
= ∫𝑓
𝑏
𝑎
(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡)𝑥,(𝑡) 𝑑𝑡 

9∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠
𝐶 
= ∫𝑓
𝑏
𝑎
(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡)𝑦,(𝑡) 𝑑𝑡 

10∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠 
𝐶
= ∫𝑓
𝑏
𝑎
(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡)𝑧,(𝑡) 𝑑𝑡 

Obs. frequentemente precisamos parametrizar um segmento de reta e, por tanto é útil 
lembrarmos que a representação vetorial de um segmento de reta que inicia em r0 e termina 
em r1 é dada por 

11 r(t) = (1 - t)r0 + tr1 0 ≤ t ≤ 1 

Exemplo II Calcule ∫𝑦2𝑑𝑥+𝑥 𝑑𝑦
𝐶
, (Figura 3.3) onde: 

a) C = C1 é o segmento de reta de (-5, -3) a (0, 2); 
b) C = C2 é o arco da parábola x = 4 - 𝑦2 de (-5, -3) a (0, 2) 


 

y 

 (0, 2) 

C2 

 C1 

0 x 


 x = 4 - 𝑦2 

 

 (-5, -3) 

Figura 3.2 

 

Solução 

a) A representação paramétrica para o segmento de reta é 


x = 5t – 5 y = 5t – 3 0 ≤ t ≤ 1 

Assim, dx = 5dt, dy = 5dt, logo, 

∫𝑦2𝑑𝑥+𝑥 𝑑𝑦
𝐶 
= ∫(5𝑡−3)2(5𝑑𝑡)+(5𝑡−5)(5𝑑𝑡)
10 


= 5∫(25𝑡2−25𝑡 +4) 𝑑𝑡
10 


= 5[
253
𝑡3 − 
252
𝑡2+4𝑡]10 = - 
56 


b) Como a parábola é dada em função de y, usamos y como parâmetro e escrevemos C2 
como 


x = 4 - 𝑦2 y = y -3 ≤ y ≤ 2 

então, dx = -2ydy e, pela Fórmula 9 , temos 


∫𝑦2𝑑𝑥+𝑥 𝑑𝑦
𝐶2 
= ∫𝑦2(−2𝑦)𝑑𝑦+(4− 𝑦2)𝑑𝑦
2−3 


= ∫(−2𝑦3− 𝑦2+4)𝑑𝑦
2−3 


= [- 
𝑦42− 
𝑦33+4𝑦]2−3 = 4056 
∎ 

Exemplo Calcule ∫𝑦𝑑𝑥+𝑧𝑑𝑦+𝑥𝑑𝑧
𝐶
, onde C consiste no segmento de reta C1 que une (2, 
0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a (3, 4, 0). 

 z 

 

 C1 C2 

 0 

 (2, 0, 0) (3, 4, 0) y 

 x 

Figura 3.3 

SoluçãoVeja Figura 3.4. Utilizando a Equação 11, escreveremos C1 como 

r(t) = (1 - t)⟨2,0,0⟩ + t⟨3,4,5⟩ = ⟨2+𝑡,4𝑡,5𝑡⟩ 

Então 

∫𝑦𝑑𝑥+𝑧𝑑𝑦+𝑥𝑑𝑧
𝐶1 
= ∫(4𝑡)𝑑𝑡+(5𝑡)4𝑑𝑡+(2+𝑡)5𝑑𝑡
10 


= ∫(10+29𝑡)𝑑𝑡
10 
= 10t +29
𝑡22]10 = 24, 5 

Da mesma maneira, C2 pode ser escrito na forma 

r(t) = (1 - t)⟨3,4,5⟩ + t⟨3,4,0⟩ = ⟨3,4,5−5𝑡 

Então 

∫𝑦𝑑𝑥+𝑧𝑑𝑦+𝑥𝑑𝑧
𝐶2 
= ∫3(−5)𝑑𝑡
10 
= -15 

Somando os valores das integrais, obtemos 

∫𝑦𝑑𝑥+𝑧𝑑𝑦+𝑥𝑑𝑧
𝐶 
= 24, 5 – 15 = 9, 5 

 

Integrais de Linhas de Campos vetoriais 

 

Já se precede algumas definições de integral de linha, o tipo de integral de linha que 
vamos mencionar aqui apresenta a definição mais elaborada de trabalho (deslocamento da 
força no tempo) sendo assim definindo força e deslocamento como vetores. 


Definição Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva C dada pela função 
vetorial r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t) k, a ≤ t ≤ b. Então, a integral de linha de F ao longo de C é 

12 ∫𝐅 .𝑑𝐫
𝑪 
= ∫𝐅(𝐫(𝑡)).𝐫′(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎 
= ∫𝐅 .𝐓 𝑑𝑠
𝑪 


Obs. Na equação da definição acima, 𝐅(𝐫(𝑡)) é uma abreviação para F(x(t), y(t),z(t)) e , 
𝐅(𝐫(𝑡)) deve ser calculada tomando x = x(t), y = y(t),z = z(t) na expressão de F(x, y, z). 

Exemplo Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) = 𝑥2𝐢 – xyj ao se mover uma 
partícula ao longo de uma quarto de círculo r(t) = cos t i + sent j, 0 ≤ t ≤ 2𝜋. 

Solução Como x = cos t e y = sent, temos 

𝐅(𝐫(𝑡)) = cos2ti –cost sent j 

𝐫′(𝑡) = - sen t i + cost j 

Portanto o trabalho realizado é 

∫𝐅 .𝑑𝐫
𝑪 
= ∫𝐅(𝐫(𝑡)).𝐫′(𝑡)𝑑𝑡
2𝜋
0 
= ∫(−2 cos2𝑡sen 𝑡)𝑑𝑡
𝝅𝟐⁄
0 


= 2 
cos3𝑡
3 
]𝜋2⁄
0 = - 
23 


∎ 

 

Teorema Fundamental das Integrais de Linha 

 

Lembrando-se do Teorema Fundamental do Cálculo, temos a seguinte equação 

1 ∫𝐹′𝑏
𝑎
(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎) 

onde F é continua no intervalo fechado [a, b]. 

Se considerarmos F gradiente de alguma função f na região ℝ, ou seja, 𝐹= ∇𝑓 em ℝ, 
então podemos considerar o teorema seguinte como Teorema Fundamental do Cálculo para as 
integrais de linha. 

2 Teorema Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b. Seja f uma 
função diferencial de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇𝑓 é continuo em C. Então 
∫∇𝑓.𝑑𝐫
𝐶
=𝑓(𝐫(𝑏))−𝑓(𝐫(𝑎)) 

Obs.1Se f é uma função de duas variáveis e C, uma curva plana com início em A(𝑥1,𝑦1) e 
término em B(𝑥2,𝑦2). O Teorema fica assim 
∫∇𝑓.𝑑𝐫
𝐶
=𝑓(𝑥2,𝑦2)−𝑓(𝑥1,𝑦1) 


Obs.2 Se f é uma função de três variáveis e C, uma curva espacial ligando o ponto 
A(𝑥1,𝑦1,,𝑧1) ao ponto B(𝑥2,𝑦2, 𝑧2), então temos 
∫∇𝑓.𝑑𝐫
𝐶
=𝑓(𝑥2,𝑦2,,𝑧2)−𝑓(𝑥1,𝑦1,,𝑧1) 

Agora com este caso, veremos a demonstração do Teorema 2. 

Demonstração do Teorema 2 Usando a definição 4.1.12, temos 
∫∇𝑓.𝑑𝐫
𝐶
=∫∇𝑓
𝑏
𝑎
(𝐫(𝑡)) .𝐫′(𝑡)𝑑𝑡 

= ∫(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 
𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑡
)𝑑𝑡
𝑏
𝑎 
= ∫
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝐫(𝑡))𝑑𝑡
𝑏
𝑎 
= f (r(b)) – f(r(a)) 
∎ 

 

Exemplo Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional 

F(x) = -
𝒎𝑴𝑮
|𝐗|𝟑𝐱 

ao mover uma partícula de massa m do ponto (3, 4, 12) para o ponto (2, 2, 0) ao longo da 
curva lisa por partes C. 

Solução Sabemos que F é um campo vetorial conservativo, logo, F= ∇𝑓, onde 

f(x, y, z) = 
𝑚𝑀𝐺
√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 

Portanto, pelo Teorema 2, trabalho realizado é 

W = ∫𝐅.𝑑𝒓= 
𝐶∫∇𝑓.𝑑𝒓
𝐶 


= f (2, 2, 0) – f (3, 4, 12) 

= 
𝑚𝑀𝐺
√𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 
- 
𝑚𝑀𝐺
√32+ 42+ 122 = mMG(
12√2− 
113) 
∎ 

Independência do caminho 

 

Vimos no Exemplo II da Seção 3.2 que curvas diferentes, consideremos assim C1 e C2, 
tendo o mesmo ponto inicial A e mesmo ponto final B não acontece ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶1 
=∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶2. 
Porém, do Teorema 2 temos que 
∫∇𝑓 .𝑑𝐫=
𝐶1∫∇𝑓 .𝑑𝐫
𝐶2 


sempre que ∇𝑓 for contínua. 


Definição Seja F um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de 
linha ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶 
é independente do caminho se ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶1 
= ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶2 
para quais quer dois 
caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com isso podemos 
dizer que as integrais de linha de campos conservativos são independentes do caminho. 

Definição Uma curva é dita fechada se seu ponto final coincide com seu ponto inicial, ou 
seja, r(b) = r(a). 

3 Teorema ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶
é independentedo caminho em D se e somente se ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶 
= 0 para 
todo caminho fechado C em D. 

Como a integral de linha de qual quer campo vetorial conservativo F é independente 
do caminho, segue que ∫𝐅.𝑑𝐫
𝐶 
= 0 para qualquer campo vetorial fechado. 

Obs. Uma curva que não se auto intercepta em nenhum ponto entre as extremidades é dita 
curva simples. 

4 Teorema Se F(x, y) = P(x, y)i+ Q(x, y)j é um campo vetorial conservativo, onde P e Q 
têm derivadas parciais de primeira ordem continuas em um domínio D. então em todos os 
pontos de D temos 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 
𝜕𝑄
𝜕𝑥 


Obs. Para o próximo Teorema, precisaremos de uma condição, uma região simplesmente 
conexa em um plano é uma região simplesmente conexa D tal que toda curva simples fechada 
em D contorna somente pontos que estão em D. 

5 Teorema Seja F = Pi + Qj um campo vetorial sobre uma região D aberta 
simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas e que 

𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 
𝜕𝑄
𝜕𝑥 
em D 

Então F é conservativo. 

Exemplo I Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x - y)i + (x - 2)j é ou não conservativo. 

Solução Seja P(x, y) = x – y e Q(x, y) = x – 2. Então 

𝜕𝑃
𝜕𝑦
= −1 
𝜕𝑄
𝜕𝑥 
= 1 

Portanto 𝜕𝑃𝜕𝑦⁄≠𝜕𝑄𝜕𝑥⁄, pelo Teorema 4, F não é conservativo. 
∎ 


Exemplo II Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 - 2x - y)i + (x2 – 3y2)j é ou não 
conservativo. 

Solução Seja P(x, y) = 3 - 2x - y e Q(x, y) = x2 – 3y2. Então 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=2𝑥= 
𝜕𝑄
𝜕𝑥 


Como 𝜕𝑃𝜕𝑦⁄=𝜕𝑄𝜕𝑥⁄, pelo Teorema 4, F é conservativo. 
∎ 

Exemplo III Se F(x, y, z) = y2i + (2xy + 𝑒3𝑧)j + 3y𝑒3𝑧k, determine uma função f tal que ∇𝑓=
𝐅. 

Solução Se existe tal que f, então 

6 fx(x, y, z) = y2 

7 fx(x, y, z) = 2xy + 𝑒3𝑧 

8 fx(x, y, z) = 3𝑦𝑒3𝑧 

Integrando (6) em relação a x, obtemos 

9 f(x, y, z) = xy2+ g(y, z) 

Onde g (y, z) é uma constante em relação a x. Então, derivando (9) em relação a y, temos 

fx (x, y, z) = 2xy + gy (y, z) 

e, comparando com (7), vem 

gy(y, z) = 𝑒3𝑧 

Então, g(y, z) = 𝑦𝑒3𝑧+ℎ(𝑧) e reescrevemos (9) como 

f(x, y, z) = xy2+ 𝑦𝑒3𝑧+ℎ(𝑧) 

Por fim, derivando em relação a z e comparando com (8), obtemos h’(z) = 0 e, por fim, h(z) = 
K, uma constante. A função que queríamos então é 

fx(x, y, z) = xy2 + 𝑦𝑒3𝑧+K 

Logo, podemos ver que ∇𝑓=𝐅. 

 

Teorema de Green 

 

 Nesta seção, veremos que o Teorema de Green gera a relação que existe entre uma 
integral de linha ao longo de uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D 
do plano delimitado por C. 


Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada 
positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira 
ordem contínua sobre uma região aberta que contenha D, então 
∫𝑃 𝑑𝑥
𝐶
+𝑄 𝑑𝑦=∬(
𝜕𝑄
𝜕𝑥
− 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝐴
𝐷 


 Demonstraremos o Teorema de Green para o caso especial, onde as curvas são regiões 
as quais chamamos de regiões simples onde essas regiões são do tipo I e II. 

Definição Uma região é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas 
de x, ou seja, 

D = {(x, y) ǀ a ≤𝑥≤ b,𝑔1 (𝑥)≤𝑦≤𝑔2(𝑥)} 

onde 𝑔1 e 𝑔2 são contínuas em [a, b]. Vejamos alguns exemplos de regiões do tipo I na Figura 
1. 

 y y= 𝑔2 (x) y y= 𝑔2 (x) 

 

 D D 

 

 y = 𝑔1 (x) y = 𝑔1 (x) 

 0 a b x 0 a b x 

Figura 1 

Consideremos também regiões planas do tipo II, que podem ser expressas da forma 

D = {(x, y)ǀ c ≤𝑥≤ d, ℎ1 (𝑦)≤𝑥≤ℎ2(𝑦)} 

onde ℎ1 e ℎ2 são contínuas. Vejamos o exemplo de regiões do tipo II na Figura 2. 

 y 

 c x= ℎ2 (y) 

 x = ℎ1 (y) D 

 d 

 0 x 

 

Figura 2 

Demonstração O Teorema de Green estará demostrado ao mostrarmos a veracidade de 

1 ∫𝑃 𝑑𝑥
𝐶
= −∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦 
𝑑𝐴
𝐷 


e 

2 ∫𝑄 𝑑𝑥
𝐶
=∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥 
𝑑𝐴
𝐷 



Vamos iniciar fazendo a demonstração da Equação I, fazendo D como uma região do 
tipo I; 

D = {(x, y)ǀ a ≤𝑥≤ b, 𝑔1 (𝑥)≤𝑦≤𝑔2(𝑥)} 

 

 y 

 𝐶3 y = 𝑔2 (x) 

 𝐶4 D 𝐶2 

 𝐶1 

 

 y= 𝑔1 (x) 

 0 a b x 

 

Figura 4 

assim, da Equação (1), segue que 

3 ∬
𝜕𝑃
𝜕𝑦 
𝑑𝐴
𝐷 
= ∫∫(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
= ∫[𝑃(𝑥,𝑔2(𝑥))− 𝑃(𝑥,𝑔1(𝑥)) ]𝑑𝑥
𝑏
𝑎 


 Faremos C como a união das quatro curvas 𝐶1,𝐶2,𝐶3 e 𝐶4, como podemos observar na 
Figura 4. Sobre 𝐶1 , façamos x como parâmetro e escrevemos as equações como x = x, y 
=𝑔1 (𝑥), a ≤ x ≤ b. Com efeito, 

∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥= ∫𝑃(𝑥,𝑔1(𝑥))
𝑏
𝑎
𝑑 𝑥
𝐶1 


Observe que 𝐶3 vai da direita para a esquerda, porém, -𝐶3 vai da esquerda para a 
direita, sua equações paramétricas podem ser escritas como x = x, y = 𝑔2(𝑥), a ≤ x ≤ b. Por 
tanto 
∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥= −∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥=
−𝐶3−∫𝑃(𝑥,𝑔2(𝑥))
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝐶3 


 

 Sobre 𝐶2 ou 𝐶4, nestes casos podemos ver que ambas podem se reduzidas a um único 
ponto, então x é constante e assim dx = 0 e 
∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥=0=
𝐶2∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥
𝐶4 


Com tudo, 

∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥
𝐶 
= ∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥
𝐶1 
+ ∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥
𝐶2 
+ ∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥
𝐶3 
+∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥
𝐶4 


= ∫𝑃(𝑥,𝑔1(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 
- ∫𝑃(𝑥,𝑔2(𝑥))
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 


Logo, se comparada com a Equação (3), vemos que 

 

De forma análoga podemos demonstrar a Equação (2), basta exprimir D como uma 
região do tipo II. Com a soma destas duas Equações (2) e (3), obtemos o Teorema de Geen. 
∎ 

Exemplo I Calcule ∫𝑥4𝑑𝑥+𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶
, onde C é a curva triangular constituída pelos 
segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0). 

A região D limitada por C é ilustrada na Figura 5. 

 

 

 

 (0, 1) y = 1 - x 

C 

 D 

 

 (0, 0) (1, 0) x 

 

Figura 5 

Podemos ver que a região D englobada por C é simples e tem orientação positiva. 
Vamos usar o Teorema de Green, fazendo P(x, y) = 𝑥4 e Q (x, y) = xy, temos então 

∫𝑥4𝑑𝑥+𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶 
=∬(
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)𝑑𝐴
𝐷
𝜕=∫∫(𝑦−0)𝑑𝑦 𝑑𝑥
1−𝑥
010 


= ∫[
12
𝑦2]𝑦=1−𝑥
𝑦=010
𝑑𝑥=
12∫(1−𝑥)210
𝑑𝑥 

= - 
16(1−𝑥)3]10 = 
16 
∎ 

 

Aplicações da Integral de Linha de um Campo Vetorial 

Cálculo do Trabalho realizado por uma Força 

 

1- Seja C a parte da parábola y = 𝑥2 entre (0, 0) e (3, 9). Se F(x, y) = -yi + xj é uma força 
que atua em (x, y), encontre o trabalho realizado por F ao longo de C. 


Solução Uma parametrização de C é dada por 

x = t, y = 𝑡2e 0 ≤ t ≤ 3 


temos 

r(t) = t i + 𝑡2j 

𝐫′(𝑡) = i + 2t j 

F(r(t)) = -𝑡2𝐣+𝑡j 

∫𝐅.𝑑𝑟
𝐶= ∫𝐅(𝐫(𝑡)).
30
𝐫′(𝑡)𝑑𝑡 

= ∫(−𝑡2𝐢+𝑡𝐣).(𝐢+2𝑡𝐣)
30
𝑑𝑡 = ∫(−𝑡2+2𝑡2)30
𝑑𝑡 

= ∫𝑡230
𝑑𝑡 = 
𝑡23]30 = 9 unidades de trabalho. 
∎ 

 

2- Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑧𝒊+𝑥𝒋+𝑦𝒌 ao 
mover: 
a) do ponto (3, 0, 0) para o ponto (0, 2, 3) passando por uma reta; 
b) do ponto (3, 0, 0) para o ponto (0, 
𝜋
2,3) pela hélice 𝑥=3𝑐𝑜𝑠𝑡,𝑦=𝑡,𝑧=3𝑠𝑒𝑛𝑡 


Solução a) A representação paramétrica para o segmento de reta é 

𝑥=3−3𝑡 𝑦=2𝑡 𝑧=3𝑡 0 ≤𝑡 ≤ 1 

temos, 

r(t) = (3 – 3t) i + 2𝑡j + 3tk 

𝐫′(𝑡) = -3i + 2j + 3k 

F(r(t)) = 3𝑡𝐢+(3−3𝑡)j + 2tk 
∫𝐅 .𝑑𝑟= ∫𝐅 (𝐫(𝑡)).𝐫′(𝑡)𝑑𝑡
10𝐶 


∫(3𝑡𝐢+(3−3𝑡)𝐣+2t𝒌).(−3𝐢+2𝐣+3𝒌)10
𝑑𝑡 = ∫(−9𝑡+6)10
𝑑𝑡 

= 
−9𝑡22+6𝑡 ]
10= 
32 
unidades de trabalho. 

Solução b) Sabemos que 

 𝑥=3𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦=𝑡 𝑧=3𝑠𝑒𝑛𝑡 0 ≤ 𝑡≤ 
𝜋
2 


temos 

r(t) = 3cost i + 𝑡j + 3sentk 

𝐫′(𝑡) = -3senti + j + 3costk 

F(r(t)) = 3𝑠𝑒𝑛𝑡𝐢+3𝑐𝑜𝑠𝑡𝐣+𝑡𝒌 
∫𝐅 .𝑑𝑟= ∫F (𝐫(𝑡)).𝐫′(𝑡)𝑑𝑡
𝜋
2⁄
0𝐶 



∫(3𝑠𝑒𝑛𝑡𝐢+3𝑐𝑜𝑠𝑡𝐣+𝑡𝒌).(−3𝑠𝑒𝑛𝑡𝐢+𝐣+3cost𝒌)𝑑𝑡
𝜋
2⁄
0 


= ∫(−9𝑠𝑒𝑛𝑡+3𝑐𝑜𝑠𝑡+3𝑐𝑜𝑠𝑡)
𝜋
20
𝑑𝑡 

= 
−9𝑡
2+
94
𝑠𝑒𝑛2𝑡−3𝑠𝑒𝑛𝑡+3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡−3𝑠𝑒𝑛𝑡 ]
𝜋
20= 
−9𝜋
4 
- 3 unidades de trabalho. 
∎ 

 

Cálculo de Área utilizando o Teorema de Green 

 

1- Calcule ∮𝑦2𝑑𝑥+3𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶
, onde C é a fronteira da região semianular D contida no 
semipleno superior entre os círculos 𝑥2+ 𝑦2 = 1 e 𝑥2+ 𝑦2 = 4. 


Solução (veja Figura 6). Podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares, 

D = {(r, 𝜃) ∣ 1≤𝑟≤2,0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋} 

Portanto, o teorema de Green nos fornece 

∮𝑦2𝑑𝑥
𝐶
+3𝑥𝑦 𝑑𝑦 = ∬[
𝜕
𝜕𝑥
(3𝑥𝑦)− 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑦2)]𝑑𝐴
𝐷 


= ∬𝑦 𝑑𝐴
𝑦 
= ∫∫(𝑟 sen𝜃)𝑟 𝑑𝑟
21 
𝑑𝜃
𝜋
0 


= ∫sen𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0∫𝑟221 
=[− cos𝜃]
𝜋
0[
13
𝑟3]
21 
= 
143 


 

 y 

 𝑥2+ 𝑦2 = 4 

 C 

 

 D 

 0 x 

 𝑥2+ 𝑦2 = 1 

 

Figura 1 
∎ 

 

2- Use o teorema de Green para calcular ∫𝑥2𝑦𝑑𝑥
𝑐
−𝑥𝑦2𝑑𝑦, onde C é o círculo 𝑥2+ 
𝑦2 = 4 orientado no sentido anti-horário. 


Solução A região D delimitada por C é o círculo 𝑥2+ 𝑦2 = 4, então vamos primeiro 
aplicar o teorema de Green depois faremos a transformação para coordenadas polares: 


 ∫𝑥2𝑦𝑑𝑥
𝑐
−𝑥𝑦2𝑑𝑦 

= ∬[ 
𝜕
𝜕𝑥
(−𝑥𝑦2)− 
𝐷
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦)𝑑𝐴 = ∫∫−𝑦220− 𝑥2 𝑑𝐴
2𝜋
0 


 Veja que: 

D = {(r, 𝜃) / 0 ≤𝑟 ≤2 𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤2𝜋} 

logo, 

= ∫∫−𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
202𝜋
0 
= ∫∫−𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃
202𝜋
0 


= ∫
𝑟442𝜋
0]
20 
𝑑𝜃 = ∫−42𝜋
0 
𝑑𝜃 = −4𝜃]
2𝜋
0= −8𝜋 
∎ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Capítulo 4 

Considerações Finais 

 

 

 

Aproxima-se o fim... 

Este fim é o fim de uma graduação, um sonho se concretizando. E com a conclusão 
deste trabalho me causando assim graduada, não somente graduada, más licenciada em 
matemática que é para mim um sonho muito esperado. Ficam as boas lembranças as saudades 
e os agradecimentos... 

Agora, se falando do trabalho, este, tendo um capítulo com parte da história 
matemática e outro se tratando do estudo do Cálculo, abordando também um pouco o cálculo 
vetorial, as integrais de linha e finalizando com algumas aplicações. 

Com isso, os parágrafos deste trabalho foram escritos satisfatoriamente, pois o prazer 
de estudar este tema teve sua contribuição com as boníssimas aulas durante esse tempo de 
graduação. 

E ao estudar sobre o que seria abordado no trabalho As Integrais de Linha, vi que seria 
interessante escrever, mesmo que poucas linhas, a respeito da história matemática, falando 
assim de alguns precursores contribuintes ao surgimento do Cálculo. 

Não é conclusivo o estudo do cálculo e da vida desses estudiosos contribuintes para o 
surgimento do Cálculo, porém satisfatório para este trabalho, pois independente do que se 
tenha previsto para estudar, haverá sempre mais a conhecer. 

 

 

 

 

 

 


 

 

Referências 

 

 

 

BOYER, Carl Benjamim. Historia da matemática. São Paulo: Edgard Bluchher, 1974. 

 

EVES, Howard. Introdução à historia da matemática. Campinas- São Paulo: 2004. 

 

SWOKOWSKI, Earl. Cálculo com geometria analítica vol. 2. São Paulo: Mc Graw- Hill do 
Brasil, 1983. 

 

STEWART, James. Calculo: volume 2. São Paulo: CengageLearnin, 2009.