Otimização Contínua em Variedades Riemannianas e Aplicações

Esta linha de pesquisa dedica-se ao desenvolvimento, à análise teórica e à implementação computacional de métodos de otimização contínua em variedades riemannianas, com ênfase em algoritmos de primeira e segunda ordem que exploram a estrutura geométrica dos problemas.

No âmbito teórico, são investigadas propriedades de convergência local e global, condições de otimalidade, complexidade e estabilidade numérica de métodos como gradiente, Newton e quasi-Newton, além de técnicas de regularização e métodos de região de confiança.

A linha contempla aplicações em processamento de sinais e imagens, aprendizado de máquina, ciência de dados, visão computacional, otimização matricial, problemas inversos, controle e robótica, incluindo problemas formulados em variedades de Stiefel, Grassmann e de matrizes de posto fixo.

Também são desenvolvidos e avaliados métodos e softwares científicos, integrando fundamentos matemáticos, implementação computacional e aplicações interdisciplinares na solução de problemas científicos e tecnológicos.

Equações Diferenciais Parciais

Esta linha de pesquisa dedica-se ao estudo analítico de problemas dados por equações diferenciais parciais, com ênfase em problemas parabólicos semilineares e quasilineares que apresentam não linearidades superlineares. O foco principal é a investigação de propriedades qualitativas das soluções, incluindo existência local e global, unicidade, regularidade, dependência contínua dos dados iniciais, comportamento assintótico, explosão em tempo finito (blow-up), existência global, estimativas a priori e resultados de limiar (threshold phenomena). Também são estudadas extensões envolvendo difusão não linear, expoentes variáveis, operadores degenerados ou singulares e problemas formulados em estruturas geométricas mais gerais.

A pesquisa fundamenta-se na teoria moderna de equações de evolução em espaços de Banach e Hilbert, utilizando ferramentas de análise funcional, teoria de semigrupos, métodos variacionais, desigualdades funcionais e técnicas de comparação.

Teoria Ergódica e Sistemas Dinâmicos

Esta linha de pesquisa dedica-se ao estudo qualitativo e estatístico de sistemas dinâmicos, com ênfase na teoria ergódica e em suas aplicações à dinâmica diferenciável e simbólica.

O objetivo é compreender o comportamento assintótico de órbitas, a existência e a estrutura de medidas invariantes, propriedades ergódicas, mistura, recorrência, transitividade, hiperbolicidade, estabilidade estrutural e teoria do caos.

São investigadas questões relacionadas à classificação de sistemas dinâmicos, entropia topológica e métrica, formalismo termodinâmico, medidas de equilíbrio, sistemas hiperbólicos e parcialmente hiperbólicos, além de aplicações da teoria ergódica à geometria, análise, probabilidade e física matemática.

A pesquisa fundamenta-se em técnicas de análise, geometria diferencial, teoria da medida, topologia e probabilidade, integrando métodos clássicos e modernos para o estudo de sistemas dinâmicos discretos e contínuos.

Estruturas Algébricas e Topológicas

Esta linha de pesquisa dedica-se ao estudo das estruturas algébricas e topológicas, enfatizando a interação entre a Teoria de Grupos e a Topologia Algébrica.

O objetivo é investigar propriedades algébricas e geométricas de grupos, incluindo grupos de tranças e grupos cristalográficos, bem como suas generalizações e aplicações em diferentes contextos da Matemática.

A linha contempla o estudo dos fundamentos da Álgebra Abstrata e da Topologia Algébrica, incluindo grupos, homomorfismos, ações de grupos, apresentações de grupos, grupos quocientes, espaços topológicos, grupos fundamentais e invariantes algébricos e topológicos.

Também integram esta linha temas relacionados à classificação e à estrutura de grupos, métodos algébricos aplicados ao estudo de espaços topológicos, além de investigações sobre novas famílias de grupos e suas aplicações.

Análise Funcional, Teoria Espectral, Análise Harmônica e Aplicações

Esta linha de pesquisa dedica-se ao estudo da teoria assintótica de C⁰-semigrupos e suas aplicações em Equações de Evolução, abrangendo tanto aspectos teóricos fundamentais quanto desdobramentos em problemas concretos. O foco principal está na compreensão do comportamento assintótico de C⁰-semigrupos definidos em espaços de Banach, uma vez que esse conhecimento fornece importantes ferramentas para o estudo do comportamento das soluções de Equações Diferenciais Parciais que podem ser modeladas por Equações de Evolução lineares.

A linha também dedica, com ferramentas da Análise Harmônica em espaços de Banach, investigar a obtenção de novas propriedades estruturais e de regularidade para multiplicadores de Fourier a valores vetoriais, com ênfase em critérios de limitação, estimativas que envolvam o tipo e cotipo do espaço de Banach em questão, e caracterizações via espaços de interpolação. Tais resultados têm implicações diretas na teoria assintótica de semigrupos e podem contribuir na obtenção de estimativas ótimas para o decaimento de soluções de equações diferenciais de evolução.

A linha também se dedica ao estudo de técnicas da Teoria Espectral, com especial atenção às técnicas importantes para obtenção de resultados relacionados à Física-Matemática, notadamente aqueles relacionados ao transporte quântico de uma partícula. Nesse sentido, propomos explorar a conexão entre as dimensões fractais associadas às medidas espectrais de operadores auto-adjuntos (por exemplo, operadores de Schrödinger) e algumas de suas grandezas dinâmicas.

Otimização Combinatória, Programação Linear e Pesquisa Operacional

Em um problema de otimização temos uma função objetivo e um conjunto de restrições, ambos relacionados às variáveis de decisão. Os valores possíveis às variáveis de decisão são delimitados pelas restrições impostas sobre essas variáveis, formando um conjunto discreto (finito ou não) de soluções factíveis a um problema. O problema pode ser de minimização ou de maximização da função objetivo.

A resposta para o problema de otimização, ou seja, o ótimo global, será o menor (ou maior) valor possível para a função objetivo para o qual o valor atribuído às variáveis não viole nenhuma restrição. Em alguns casos, chegamos a valores cuja alteração discreta não conduz a resultados melhores, mas que não são também o ótimo global – a essas soluções chamamos de ótimo local.

Na tentativa de melhor utilizar os recursos disponíveis, muitas empresas de papel, de móveis, de vidro, metalúrgica, plástica, têxtil etc, que lidam no dia a dia com a tarefa de cortar peças menores a partir de peças maiores têm demonstrado um crescente interesse em técnicas que visam a otimização do processo de corte. Problemas de corte consistem em cortar diferentes tipos de itens a partir de peças maiores em estoque (objetos), buscando otimizar alguma função objetivo, que pode ser, por exemplo, a minimização dos custos ou da quantidade de objetos cortados. É também comum na literatura considerar-se vários objetivos para o problema.

Álgebra Linear Aplicada e Computacional

A linha de pesquisa Álgebra Linear Aplicada e Computacional visa aprofundar o estudo dos fundamentos da Álgebra Linear e suas aplicações na modelagem, análise e solução de problemas matemáticos e computacionais. Contempla temas como matrizes, sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores, integrando conceitos teóricos com métodos numéricos e ferramentas computacionais.

A linha tem o objetivo de buscar capacitar em técnicas de Álgebra Linear nas áreas de processamento de imagens, inteligência artificial, computação científica promovendo o desenvolvimento de soluções inovadoras para problemas reais usando recursos tecnológicos e softwares matemáticos.

Geometria Diferencial Aplicada

A linha de pesquisa dedica-se ao estudo das propriedades geométricas de curvas, superfícies e variedades, utilizando ferramentas do cálculo diferencial e da geometria moderna para analisar e modelar problemas em diferentes áreas do conhecimento.

Abrange conceitos como curvatura, geodésicas, variedades diferenciáveis e aplicações em modelagem matemática, computação gráfica, robótica, física, engenharia e ciência de dados usando os fundamentos da Geometria Diferencial com tecnologias e métodos computacionais.